Douat : un alphabet de carreaux

De Truchet à Douat

L'histoire commence avec Sébastien Truchet, frère dominicain, ingénieur du roi et membre de l'Académie Royale des Sciences. Vers 1704, en faisant l'inventaire de carreaux de faïence, il remarqua qu'un carreau carré partagé en diagonale en une moitié sombre et une moitié claire est bien plus riche qu'il n'y paraît : qu'on le tourne et il devient quatre carreaux différents, et posés bord à bord ils produisent une étonnante variété de motifs. Il consigna l'observation dans un court mémoire pour l'Académie.

Truchet ne développa jamais l'idée en un livre. Ce fut l'œuvre de Dominique Douat, carme de la Province de Toulouse, qui prit le mémoire de Truchet comme point de départ et le poussa aussi loin que possible. Sa Méthode pour faire une infinité de desseins différens, de 1722, est en fait le premier traité combinatoire complet sur ce que nous appelons aujourd'hui les carreaux de Truchet — avec 72 desseins gravés, des tables de permutations et une recette pour construire n'importe quel motif de zéro.

Le livre porte les approbations des plus grands mathématiciens de l'époque — Fontenelle et Varignon parmi eux — et est dédié à un président de l'Académie de Montpellier. Deux frères, une seule ligne diagonale et toute la machinerie de la combinatoire du XVIIIe siècle : telle est l'origine improbable d'un système auquel les artistes génératifs ont encore recours aujourd'hui.

Un carreau, quatre orientations

Tout se construit à partir d'un seul carreau carré, mi-parti — partagé en deux par une diagonale — une moitié colorée, l'autre blanche. Comme un carré a quatre coins, l'angle coloré peut pointer vers n'importe lequel d'entre eux. Douat donne à chacune de ces quatre orientations une lettre, nommée d'après le coin où se trouve l'angle coloré :

Voilà tout l'alphabet. A, c'est l'angle coloré en bas à gauche, B en haut à gauche, C en haut à droite, D en bas à droite. Une fois que l'on distingue A, B, C et D, on peut lire — et écrire — chaque dessein du livre sans jamais regarder un dessin.

Un alphabet de motifs

L'intuition de Douat, c'est que les lettres sont une notation. Prenez les quatre carreaux quatre à quatre, répétitions permises, et vous obtenez 4 × 4 × 4 × 4 = 256 petits arrangements de deux sur deux — sa quatrième table. Répétez et combinez ceux-là, rangée après rangée, et le compte explose : il calcule patiemment le nombre de desseins réalisables en prenant les 256 deux à deux, trois à trois, quatre à quatre… et les totaux atteignent des dizaines de chiffres.

Il aimait cette disproportion entre des moyens minuscules et des résultats sans limite, et recourait à des analogies : les mathématiques naissent d'un seul point, l'arithmétique de neuf chiffres, la musique de sept notes, et les vingt-quatre lettres de l'alphabet épellent plus de mots qu'il n'y a eu d'instants depuis la création du monde. Quatre carreaux, soutient-il, ne sont pas différents — ils épellent une infinité de desseins.

Et comme les motifs sont écrits en lettres, les gravures deviennent inutiles. En ne connaissant que A, B, C et D, on peut disposer des carreaux de carton et reproduire n'importe quel dessein — « sans étude », comme il le dit.

Lisez la grille de lettres à gauche ; construisez les carreaux qu'elle nomme ; et vous obtenez l'image à droite. Voici le dessein 1 de sa table finale :

D D A A
D D A A
C C B B
C C B B

Opposés : diagonal, horizontal, perpendiculaire

Les lettres rendent aussi les symétries faciles à calculer. Douat note que A et C (et B et D) sont opposés en diagonale — ils échangent le noir et le blanc. A et D (et B et C) sont opposés horizontalement — la gauche pour la droite. A et B (et C et D) sont opposés perpendiculairement — le haut pour le bas.

Ainsi, de n'importe quel dessein on obtient aussitôt trois autres, rien qu'en échangeant des lettres. Une page entière de son livre est consacrée à ces oppositions, transformant un motif en quatre sans rien dessiner.

Les 72 desseins, écrits en lettres

Voici les soixante-douze desseins gravés de Douat — mais pas les gravures. Chacun a été transcrit de ses grilles de lettres et rendu en direct, dans votre navigateur, à partir de rien d'autre que A, B, C et D. Utilisez les flèches (ou le clavier) pour les feuilleter, exactement comme un lecteur de 1722 aurait pu les construire carreau par carreau.