Douat: un alfabeto de mosaicos

De Truchet a Douat

La historia empieza con Sébastien Truchet, fraile dominico, ingeniero real y miembro de la Académie Royale des Sciences. Hacia 1704, mientras inventariaba azulejos cerámicos, notó que un mosaico cuadrado dividido en diagonal en una mitad oscura y otra clara es mucho más rico de lo que parece: al girarlo se convierte en cuatro mosaicos distintos, y colocados borde con borde producen una variedad asombrosa de patrones. Dejó la observación en una breve memoria para la Academia.

Truchet nunca llevó la idea a un libro. Lo hizo Dominique Douat, carmelita de la Provincia de Toulouse, que tomó la memoria de Truchet como punto de partida y la empujó hasta el límite. Su Méthode pour faire une infinité de desseins différens, de 1722, es en realidad el primer tratado combinatorio completo sobre lo que hoy llamamos mosaicos de Truchet — con 72 diseños grabados, tablas de permutaciones y una receta para construir cualquier patrón desde cero.

El libro lleva las aprobaciones de los matemáticos más destacados de la época — Fontenelle y Varignon entre ellos — y está dedicado a un presidente de la Academia de Montpellier. Dos frailes, una sola línea diagonal y toda la maquinaria de la combinatoria del siglo XVIII: ese es el origen improbable de un sistema al que los artistas generativos siguen recurriendo hoy.

Un mosaico, cuatro orientaciones

Todo se construye a partir de un único mosaico cuadrado, mi-parti — partido por la mitad mediante una diagonal — una mitad de color, la otra blanca. Como el cuadrado tiene cuatro esquinas, el ángulo coloreado puede apuntar a cualquiera de ellas. Douat asigna a cada una de esas cuatro orientaciones una letra, según la esquina donde se sitúa el ángulo de color:

Ese es todo el alfabeto. A es el ángulo de color abajo a la izquierda, B arriba a la izquierda, C arriba a la derecha, D abajo a la derecha. Una vez que distingues A, B, C y D, puedes leer — y escribir — cada diseño del libro sin mirar jamás un dibujo.

Un alfabeto de patrones

La idea de Douat es que las letras funcionan como una notación. Toma los cuatro mosaicos de cuatro en cuatro, permitiendo repeticiones, y aparecen 4 × 4 × 4 × 4 = 256 pequeñas disposiciones de dos por dos: su cuarta tabla. Si repites y combinas esas piezas fila tras fila, la cuenta se dispara: calcula con paciencia cuántos diseños pueden formarse tomando esas 256 disposiciones de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro… y los totales llegan a decenas de cifras.

Le fascinaba esa desproporción entre medios mínimos y resultados casi sin límite, y la explicaba con analogías: la matemática crece desde un único punto, la aritmética desde nueve cifras, la música desde siete notas, y las veinticuatro letras del alfabeto alcanzan para deletrear más palabras que instantes ha habido desde la creación del mundo. Cuatro mosaicos, sostiene, no son una excepción: también permiten escribir una infinidad de diseños.

Y como los patrones están escritos con letras, ni siquiera hacen falta los grabados. Con solo conocer A, B, C y D puedes disponer mosaicos de cartón y reproducir cualquier diseño, «sans étude», sin estudio, como dice él mismo.

Lee la grilla de letras de la izquierda, arma los mosaicos que nombra y aparece la imagen de la derecha. Este es el diseño 1 de su tabla final:

D D A A
D D A A
C C B B
C C B B

Opuestos: diagonal, horizontal, perpendicular

Las letras también vuelven fáciles de calcular las simetrías. Douat observa que A y C (y B y D) son opuestos en diagonal — intercambian negro por blanco. A y D (y B y C) son opuestos horizontales — izquierda por derecha. A y B (y C y D) son opuestos perpendiculares — arriba por abajo.

Así, de cualquier diseño obtienes al instante otros tres, con solo intercambiar letras. Una página entera de su libro se dedica a estas oposiciones, convirtiendo un patrón en cuatro sin dibujar nada.

Los 72 diseños, escritos en letras

Abajo están los setenta y dos diseños grabados de Douat, aunque no verás aquí los grabados originales. Cada uno fue transcrito de sus grillas de letras y se reconstruye en vivo, en tu navegador, a partir de nada más que A, B, C y D. Usa las flechas, o el teclado, para hojearlos como podría haberlo hecho un lector de 1722, mosaico a mosaico.